H-фрактал

Всё начинается с фигуры в виде буквы Н, у которой вертикальные и горизонтальные отрезки равны. Затем к каждому из 4 концов фигуры пририсовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) пририсовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее. В пределе получится фрактал, который визуально почти заполняет некоторый квадрат. Н-фрактал всюду плотен в нём. То есть в любой окрестности любой точки квадрата найдутся точки фрактала. Очень похоже на то, что происходит с Т-квадратом. Это не случайно, ведь, если присмотреться, видно, что каждая буква Н содержится в своем маленьком квадратике, который был дорисован на таком же шаге.

Можно сказать (и доказать), что Н-фрактал заполняет свой квадрат (англ. space-filling curve). Поэтому его фрактальная размерность равна 2. Суммарная длина всех отрезков бесконечна.

Принцип построения Н-фрактала применяют при производстве электронных микросхем: если нужно, чтобы в сложной схеме большое число элементов получило один и тот же сигнал одновременно, то их можно расположить в концах отрезков подходящей итерации Н-фрактала и соединить соответствующим образом.

Варианты

Дерево Мандельброта получается, если рисовать толстые буквы Н, состоящие из прямоугольников, а не из отрезков:

Еще несколько примеров линий, заполняющих часть плоскости (см. Space-filling curve). Впервые такой объект появился в статье итальянского математика Джузеппе Пеано в 1890 году. Пеано пытался найти хоть сколько-нибудь наглядное объяснение того, что отрезок и квадрат равномощны (если рассматривать их как множества точек), то есть в них «одинаковое» количество точек. Эта теорема была ранее доказана Георгом Кантором в рамках придуманной им теории множеств. Однако подобные противоречащие интуиции результаты вызывали большой скепсис по отношению к новой теории. Пример Пеано — построение непрерывного отображения из отрезка на квадрат — стал хорошим подтверждением правоты Кантора.

Кривая Пеано, первые три итерации

Любопытно, что в статье Пеано не было ни одной иллюстрации. Иногда выражение кривая Пеано относят не к конкретному примеру, а к любой кривой, которая заполняет часть плоскости или пространства.

• Эта кривая (кривая Гильберта) была описана Давидом Гильбертом в 1891 году. Мы можем увидеть лишь конечные приближения к тому математическому объекту, который имеется в виду, — сам он получится в пределе только после бесконечного числа операций.

Вариант кривой Пеано — кривая Гильберта, первые шесть итераций

• Еще один пример — фрактал «Греческий крест» (2D greek cross fractal):

Фрактал «Греческий крест», первые пять итераций

• Кривая Госпера, или снежинка Госпера (см. Bill Gosper):

Кривая (снежинка) Госпера

• А есть еще и трехмерные аналоги таких линий. Например трехмерная кривая Гильберта, или куб Гильберта:

Элегантная металлическая версия трехмерной кривой Гильберта (третья итерация), созданная профессором компьютерных наук Калифорнийского университета в Беркли Карло Секином (Carlo H. Séquin). Изображение с сайта momath.org

Такую модель можно построить самому из 64 пластмассовых сантехнических уголков:

Пластмассовый куб Гильберта (вторая итерация). Изображение с сайта momath.org

Далее: Треугольник Серпинского